par Dominique RIVOLTA
Contenant un procédé simple pour obtenir tous les intervalles, accords et échelles à transpositions limitées dans le système tempéré de l'échelle chromatique à douze demi-tons par la division d'une octave en parts égales.
Ce mémoire n'est ni un traité d'harmonie, ni un cours de mathématiques sur l'application des congruences aux transpositions limitées comme le pressent Iannis XENAKIS (1), non plus qu'un dictionnaire qui cataloguerait des agrégats de notes d'une manière fastidieuse.
Le but de l'auteur du présent travail était de présenter aux musiciens un procédé simple, structuré et abordable par tous qui permettrait d'obtenir les intervalles, les accords et les échelles à transpositions limitées.
Dans certains contextes, on aurait pu préférer au terme "transposition" qui désigne une action, un changement d'état, le néologisme "transposat" qui aurait l'avantage de désigner explicitement les états antérieur et/ou postérieur à une transposition. De sorte que l'échelle par tons de Claude DEBUSSY, produirait une seule transposition et contiendrait dès lors deux "transposats". Dans le désir toutefois de ne point bousculer les habitudes, on préférera, au cours de l'exposé, utiliser le mot "transposition" dans l'un et l'autre cas.
De même emploiera-t-on échelle plutôt que mode. A la différence de "mode", "échelle" n'induit pas en effet de hiérarchie entre les sons (2). Dans la première transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées d'Olivier MESSIAEN, on considérera donc comme premier mode celui qui commence sur le premier degré (Do - Ré b - Mi b- Mi - Fa# - Sol - La - Si b - Do) (3) et comme deuxième mode celui qui commence sur le deuxième degré (Do# - Ré# - Mi - Fa# - Sol - La - Si b - Do - Do#) (3) et ainsi de suite, et ce, à l'instar des modes dits "grecs" de l'échelle diatonique, modes obtenus par exemple par la mise en oeuvre des touches blanches du clavier.
On considérera comme accords les agrégats de trois ou quatre notes et comme échelles ceux de six, huit, neuf, dix ou douze notes. Sauf exception, nous noterons les accords par le système classique des accords en tierces. Pour faciliter la compréhension, dans les exemples musicaux on notera souvent par arpèges les accords ou agrégats de notes.
On considérera l'échelle chromatique à douze demi-tons dans le système bien tempéré et, comme il est impossible de diviser une portée musicale en parts égales d'un demi-ton (n'existe-t-il pas entre le Do et le Ré - séparés d'un ton - et entre le Mi et le Fa - séparés d'un demi-ton la même configuration calligraphique augmentée d'une ligne ?), on présentera comme ci-après sur la figure pour l'explication théorique les notes par une numérotation de un à douze, de Do bécarre à Si bécarre ou Do bémol c'est-à-dire par la disposition des degrés chromatiques, et ce afin de ne pas alourdir excessivement le texte et les tableaux en différenciant les demi-tons diatoniques :
Dans la mesure du possible et pour simplifier, on utilisera dans les exemples le Do comme tonique ou comme fondamentale. Les exemples d'oeuvres citées ne sont pas exhaustifs et ne sont communiqués que pour pure information. On transposera toujours en réaménageant les notes sur une octave. Ainsi le treizième degré chromatique sera disposé sur le premier, le quatorzième sur le second, et ainsi de suite.
On raccourcira le texte et les tableaux en employant les abréviations ci-après :
Ac = Accord, ex. Ac-.7.d signifie Accord de septième diminuée
Ac.5.A signifie Accord de quinte augmentée
Ac.7.M.5.d.3.A Accord de septième majeure, quinte diminuée et tierce augmentée
Ac.7.m.5.d.3.M Accord de septième mineure, quinte diminuée et tierce majeure
Ac.T.L. signifie Accord à transpositions limitées
d° = Degré
E.C. = Échelle chromatique à douze demi-tons
E.T.L. = Échelle à transpositions limitées. On utilisera les numérotations d'Olivier MESSIAEN (4) pour les modes et leurs transpositions.
F. = État fondamental d'un accord
In. = Intervalle, ex. In.4-te A = intervalle de quarte augmentée
In.5-te d = intervalle de quinte diminuée
In. T.L. = intervalle à transpositions limitées
M .T.L. = Mode à transpositions limitées
R. = Renversement, ex. 1er, 2ème ou 3ème Renversement = 1R., 2R., 3R.
t. = Transposition
Tab. = Tableau
Pour les titres, éditeurs et années d'édition des ouvrages cités, on se reportera à la bibliographie qui fait suite à cet exposé. Dans le système étudié, l'octave ne peut se diviser qu'en douze, six, quatre, trois, deux ou une parts égales.
On obtient une suite de douze sons séparés chacun d'un demi-ton: 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 6 tons. C'est l'échelle dodécatonique ou dans le système tonal, l'échelle chromatique qui n'est pas transposable. C'est la seule échelle à transposition nulle. Avec une tonique en Do, la succession des notes est :
On obtient une suite de six sons séparés chacun d'un ton:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 tons.
C'est une échelle hexatonique (échelle à 6 sons) qui est la 1ère ETL souvent nommée 1er MTL, gamme atonale, gamme par tons ou gamme de Claude DEBUSSY.
Voici la 1ère t. :
Do - Ré - Mi - Fa# - Sol# - La#
et la 2nde t. :
Ré b - Mi b- Fa - Sol - La - Si
La 3ème t est égale enharmoniquement à la 1ère. Cette échelle n'est transposable que deux fois. La combinaison des deux transpositions donne l'échelle chromatique. Les notes absentes dans une des transpositions sont celles de l'autre transposition.
Cette échelle a été très utilisée, surtout depuis Claude DEBUSSY (Pelléas et Mélisande) et Paul DUKAS (Ariane et Barbe-Bleue) qui en ont savamment épuisé les ressources (7). Toutefois MOZART l'utilise pour parodier un musicien qui joue faux (8) et Franz LISZT plus consciemment dans la Fantaisie sur Don Juan (9).
3.1. Accord de septième diminuée.
On obtient une suite de quatre sons séparés chacun d'un ton et demi:
(1 1/2 + 1 1/2 + 1 1/2 + 1 1/2) = 6 tons
C'est l'accord de septième diminuée (Ac.7d.5d.3m.), transposable trois fois :
1ère t. = (Do - Mi b - Sol b - Si bb 6)
2ème t. = (Do# - Mi - Sol - Si b)
3ème t. = (Ré - Fa - La b - Do b)
La combinaison des trois transpositions donne l'échelle chromatique à douze demi-tons (E.C).
Les notes absentes de cet accord donnent la deuxième échelle à transpositions limitées E.T.L. (Cf. infra).
On examinera toutes les autres combinaisons de cet accord.
3.2. Deuxième échelle à transpositions limitées.
C'est une échelle octatonique, c'est à dire à huit sons.
La combinaison (1t + 2t) de Ac.7d. donne la 1ère t. de la 2ème E.T.L. La combinaison (2t + 3t) de Ac.7d. donne la 2ème t. de la 2ème E.T.L. La combinaison (3t + 1t) de Ac.7d. donne la 3ème t. de la 2ème E.T.L.
L'ordre des intervalles est
(1/2 + 1 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1) = 6 tons, si on commence par le premier degré ou
(1 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1 + 1/2) = 6 tons, si on commence par le deuxième degré.
Cette échelle n'est transposable que trois fois.
Dans la première transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées, les notes manquantes sont celles de la troisième transposition de l'accord de septième diminuée.
Dans la deuxième transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées, les notes manquantes sont celles de la première transposition de l'accord de septième diminuée.
Enfin, dans la troisième transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées, les notes manquantes sont celles de la deuxième transposition de l'accord de septième diminuée.
Cette échelle est très utilisée par Olivier MESSIAEN, notamment dans son Banquet Céleste (Leduc, Paris, 1928), ainsi que dans les première, troisième, cinquième, huitième et neuvième pièces de sa Nativité du Seigneur (Leduc, Paris, 1936), de même que par Béla BARTÓK (une de ses échelles périodiques (12)) et plus ou moins consciemment - par Frédéric CHOPIN qui fit peut-être le précurseur de l'emploi de la 2ème E.T.L. en exploitant l'appoggiature de l'accord de 7ème diminuée en particulier dans sa Ballade n°1 en Sol mineur op.23 composée avant 1831, Nicolas RIMSKI-KORSAKOV, Alexandre SCRIABINE, Maurice RAVEL ou Igor STRAVINSKI dans certaines de leurs oeuvres.
La première transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées donne, chez Olivier MESSIAEN (13) :
(Do - Ré b - Mi b = Mi - Fa# - Sol - La - Si b - Do)
et chez Béla BARTÓK :
(Do - Do# - Mi b - Mi - Fa# - Sol - La - Si b - Do).
4.1. Accord de quinte augmentée
On obtient une suite de trois sons séparés entre eux par deux tons (2 + 2 + 2) = 6 tons ; c'est l'accord de quinte augmentée (Ac.5A.3M.), transposable quatre fois :
1ère t. - (Do - Mi - Sol#)
2ème t. - (Ré b - Fa - La)
3ème t. - (Ré - Fa# - La#)
4ème t. - (Mi b - Sol - Si)
La combinaison des quatre transpositions nous donne l'échelle chromatique.
Les notes absentes de cet accord nous donnent la troisième échelle à transpositions limitées (Cf. infra).
C'est le seul accord à transpositions limitées comprenant trois notes.
4.2. Troisième échelle à transpositions limitées tronquée
C'est une échelle hexatonique, c'est à dire à six sons.
Les combinaisons (1t + 2t), (2t + 3t), (3t + 4t), (4t + 1t) de l'accord de quinte augmentée donnent respectivement les deuxième, troisième, quatrième et première transpositions de la troisième échelle à transpositions limitées tronquée (Cf. infra - 3ème E.T.L.).
L'ordre des intervalles est
(1 1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2) = 6 tons
ou bien
(1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1 1/2) = 6 tons
Cette échelle n'est transposable que quatre fois.
Dans la première transposition de la troisième échelle à transpositions limitées tronquée, les notes manquantes sont celles de la troisième transposition de cette même échelle, dans la deuxième transposition - respectivement celles de la quatrième -, et ainsi de suite...
La première transposition de la troisième échelle à transpositions limitées tronquée se retrouve dans la suite orchestrale du Coq d'Or de RIMSKI-KORSAKOV
(Do - Mi b - Mi - Sol - La b - Si - Do), tandis que la deuxième transposition correspond à une échelle périodique de Béla BARTÓK
(Do - Do# - Mi - Fa - Sol# - La - Do) (12).
Notons que les combinaisons (2t+4t) et (3t+1t) donnent l'E.C.
4.3. Première échelle à transpositions limitées
Les combinaisons (1t.+3t.) et (2t.+4t.) de l'accord de quinte augmentée donnent respectivement la première et la seconde transpositions de la première échelle à transpositions limitées, transposable deux fois seulement et déjà examinée au chapitre deux.
4.4. Troisième échelle à transpositions limitées
C'est une échelle non atonique, c'est à dire à neuf sons.
Les combinaisons (1t.+2t.+3t.), (2t.+3t.+4t.), (3t.+4t.+1t.) et (4t.+1t.+2t.) de l'accord de quinte augmentée donnent respectivement les troisième, quatrième, première et seconde transpositions de la troisième échelle à transpositions limitées.
L'ordre des intervalles est :
(1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2) = 6 tons,
ou
(1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2) = 6 tons,
ou
(1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1) = 6 tons.
Cette échelle n'est transposable que quatre fois.
Les notes absentes de cette échelle sont celles d'un accord de quinte augmentée. La première transposition de cette échelle donne :
(Do - Ré - Mi b - Mi - Fa# - Sol - La b - Si b - Si - Do).
Elle est utilisée dans les deuxième, quatrième et septième pièces de la Nativité du Seigneur de MESSIAEN (Leduc, Paris, 1936).
5.1. Intervalle de quinte diminuée ou de quarte augmentée
On obtient deux sons séparés par trois tons - (3 + 3) = 6 tons.
C'est l'intervalle de quinte diminuée, dont la première transposition est (Do - Sol b), ou l'intervalle de quarte augmentée dont la première transposition est (Do - Fa#). C'est le seul intervalle à transpositions limitées (transposable six fois).
La combinaison des six transpositions donne l'échelle chromatique. Les notes absentes de cet intervalle donnent la septième échelle à transpositions limitées (Cf. infra) ; on étudiera toutes les autres combinaisons de cet intervalle.
5.2. Accord de septième majeure, quinte diminuée et tierce augmentée
C'est un accord de quatre sons.
Les combinaisons (1t.+2t.), (2t.+3t.), (3t.+4t.), (4t.+5t.), (5t.+6t.) et (6t.+1t.) donnent respectivement les première, deuxième, troisième, quatrième, cinquième transpositions de l'accord de septième majeure, quinte diminuée et tierce augmentée, dans son premier renversement (Do - Mi bb - Sol b - La bb) (ex. dans la première transposition), ou son troisième renversement (Do - Ré b - Fa# - La bb) (ex. dans la première transposition), ainsi que la sixième transposition du même accord dans son état fondamental (Do - Mi# - Sol b - Si), ou son deuxième renversement (Do - Mi# - Fa# - La ##).
Bien entendu, on peut, pour alléger l'écriture, user du système des accords en quartes. Par exemple, pour la première transposition (Do - Ré b - Fa - Sol b), l'état fondamental étant (Ré b - Sol b - Do - Fa), et pour la sixième transposition (Do - Fa - Sol b - Si) pour un état fondamental (Sol b -Do - Fa - Si).
L'ordre des intervalles est
(1/2 + 2 1/2 + 1/2 + 2 1/2) = 6 tons,
ou bien
(2 1/2 + 1/2 + 2 1/2 + 1/2) = 6 tons.
Cet accord n'est transposable que six fois.
Les combinaisons (1t.+3t.+5t.) ou (2t.+4t.+6t.) de cet accord donnent l'échelle chromatique.
Les notes absentes de cet accord donnent la quatrième échelle à transpositions limitées (cf. infra) .
5.3. Accord de septième mineure, quinte diminuée et tierce majeure
C'est un accord de quatre sons. Les combinaisons (1t.+3t.), (2t.+4t.), (3t.+5t.), (4t.+6t.), (5t.+1t.) et (6t.+2t.) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les première, deuxième, troisième et quatrième transpositions de l'accord de septième mineure, quinte diminuée et tierce majeure, dans son premier renversement (Do - Mi bb - Sol b - La b), (exemple dans la première transposition), ou son troisième renversement (Do - Ré - Fa# - La b) (exemple dans la première transposition).
Ces combinaisons donnent également les cinquième et sixième transpositions du même accord, soit, dans son état fondamental (exemple dans la cinquième transposition) (Do - Mi - Sol b - Si b), ou son deuxième renversement (exemple dans la cinquième transposition) (Do - Mi - Fa# - La#).
Dans le système des accords en quartes, la première transposition, dont I'état fondamental est (Ré - Sol# - Do - Fa#), peut donner (Do - Ré - Fa# - Sol#), tandis que la cinquième transposition, dont l'état fondamental est (Do - Fa # - Si b - Mi), donnera (Do - Mi - Fa# - Si b)
L'ordre des intervalles est
(1 + 2 + 1 + 2) = 6 tons,
ou (2 + 1 + 2 + 1) = 6 tons.
Cet accord n'est transposable que six fois.
Il est remarquable de constater que c'est là le seul accord à transpositions limitées dont aucune des combinaisons ne peut donner sans redoublement de notes l'échelle chromatique. Les notes absentes de cet accord donnent la sixième échelle à transpositions limitées (Cf. infra).
Cet accord a une propriété remarquable dans les échelles à transpositions limitées et fera l'objet d'un examen plus détaillé au paragraphe 7.2.
5.4. Accord de septième diminuée
Les combinaisons (1t.+4t.), (2t.+5t,), et (3t.+6t.) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les première, deuxième et troisième transpositions de l'accord de septième diminuée, transposable trois fois seulement et déjà examiné au paragraphe 3.1.
5.5. Cinquième échelle à transpositions limitées
C'est une échelle hexatonique ou à six sons.
Les combinaisons (1t.+2t.+3t.), (2t.+3t.+4t.), (3t.+4t.+5t.), (4t.+5t.+6t.), (5t.+6t.+1t.) et (6t.+1t.+2t.) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les deuxième, troisième, quatrième, cinquième, sixième et première transpositions de la cinquième échelle à transpositions limitées.
L'ordre des intervalles en est
(1/2 + 2 + 1/2 + l/2 + 2 + l/2) = 6 tons,
ou
(l/2 + l/2 + 2 + l/2 + l/2 + 2) = 6 tons,
ou
(2 + l/2 + l/2 + 2 + 1/2 + l/2) = 6 tons.
Cette échelle n'est transposable que 6 fois.
Les notes absentes de la première transposition de cette échelle sont celles de la quatrième transposition de la même échelle, celles de la deuxième transposition donnent respectivement celles de la cinquième, tandis que les notes absentes de la troisième transposition donnent celles de la sixième.
Les combinaisons (1t.+4t.), (2t.+5t.) et (3t.+6t.) de cette échelle donnent l'échelle chromatique.
La première transposition de cette échelle est (Do - Ré b - Fa - Fa# - Sol - Si - Do).
Cette cinquième échelle à transpositions limitées est en fait une quatrième échelle à transpositions limitées tronquée qui ne doit son appellation qu'à une ligne mélodique (18) et à un accord en quarte qu'elle engendre (19).
5.6. Deuxième échelle à transpositions limitées tronquée N°1
C'est une échelle hexatonique, c'est-à-dire à six sons.
Les combinaisons (1t + 2t + 4t), (2t + 3t + 5t), (3t + 4t + 6t), (4t + 5t + 1t), (5t + 6t + 2t) et (6t + 1t + 3t) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les 2ème ; 3ème ; 4ème ; 5ème ; 6ème et 1ère transpositions de la deuxième échelle à transpositions limitées tronquée n°1.
L'ordre des intervalles est :
(1 + 1 1/2 + 1/2 + 1 + 1 1/2 + 1/2) = 6 tons
ou bien
(1/2 + 1 + 1 1/2 + 1/2 + 1 + 1 1/2) = 6 tons
ou enfin
(1 1/2 + 1/2 + 1 + 1 1/2 + 1/2 + 1) = 6 tons
Cette échelle - à la différence de la deuxième échelle à transpositions limitées complète, - transposable trois fois - est transposable six fois.
Les notes absentes de la première transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées tronquée n°1 correspondent à celles de la cinquième transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées tronquée n°2 (Cf. infra), celles de la deuxième transposition - à la sixième - et ainsi de suite...
La première transposition de cette échelle est :
(Do - Ré - Fa - Fa # - Sol# - Si - Do)
5.7. 2ème échelle à transpositions limitées tronquée n°2
C'est une échelle hexatonique (à 6 sons).
Les combinaisons (1t + 2t + 5t), (2t + 3t + 6t), (3t + 4t + 1t), (4t + 5t + 2t), (5t + 6t + 3t) et (6t + 1t + 4t) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les 2ème, 3ème, 4ème, 5ème, 6ème & 1ère t. de la 2ème ETL tronquée n°2.
L'ordre des intervalles est
(1 1/2 + 1 + 1/2 + 1 1/2 + 1 + 1/2) = 6 tons
ou
(1/2 + 1 1/2 + 1 + 1/2 + 1 1/2 + 1) = 6 tons
ou
(1 + 1/2 + 1 1/2 + 1 + 1/2 + 1 1/2) = 6 tons
A la différence de la 2ème ETL complète transposable 3 fois seulement, et à l'instar de la 2ème ETL tronquée n°1, la 2ème ETL tronquée n°2 est transposable 6 fois.
Les notes absentes de la 1ère t. de la 2ème ETL tronquée n°2 correspondent à celles de la 3ème t. de la 2ème ETL tronquée n°1 (Cf. supra), celles de la 2ème t. à la 4ème t., et ainsi de suite...
La 1ère t. de cette échelle est
(Do - Mi b - Fa - Fa# - La - Si - Do)
5.8. 4ème échelle à transpositions limitées
C'est une échelle octatonique (échelle à 8 sons).
Les combinaisons (1t. + 2t. + 3t. + 4t.), (2t. + 3t. + 4t. + 5t.), (3t. + 4t. + 5t. + 6t.), (4t. + 5t. + 6t. + 1t.), (5t. + 6t. + 1t. + 2t.) et (6t. + 1t. + 2t. + 3t.) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les 2ème, 3ème, 4ème, 5ème, 6ème et 1ère transpositions de la quatrième échelle à transpositions limitées.
L'ordre des intervalles est
(1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2) = 6 tons,
ou
(1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 1/2) = 6 tons,
ou
(1 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2) = 6 tons,
ou enfin
(1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 1/2 + 1/2 + 1/2) = 6 tons.
Cette échelle n'est transposable que six fois.
Les notes absentes de cette échelle sont celles d'un accord de septième majeure, quinte diminuée et tierce augmentée. La première transposition de cette échelle est
(Do - Ré b - Ré - Fa - Fa# - Sol - La b - Si - Do).
Cette échelle est utilisée par Olivier MESSIAEN dans la neuvième pièce de la Nativité du Seigneur (Leduc - Paris, 1936).
5.9. Sixième échelle à transpositions limitées
C'est une échelle octatonique, c'est à dire à huit sons.
Les combinaisons (1t. + 2t. + 3t. + 5t.), (2t. + 3t. + 4t. + 6t.), (3t. + 4t. + 5t. + 1t.), (4t. + 5t. + 6t. + 2t.), (5t. + 6t. + 1t. + 3t.) et (6t. + 1t. + 2t. + 4t.) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les 3ème, 4ème, 5ème, 6ème, 1ère et 2ème transposition de la 6ème E.T.L.
L'ordre des intervalles est
(1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1 + 1/2 + 1/2) = 6 tons,
ou bien
(1/2 + 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1 + 1/2) = 6 tons,
ou bien
(1/2 + 1/2 + 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1) = 6 tons,
ou enfin
(1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1) = 6 tons.
Cette échelle n'est transposable que six fois. Les notes qui en sont absentes sont celles d'un accord de septième mineure, quinte diminuée et tierce majeure. La première transposition de cette échelle est (Do - Ré - Mi - Fa - Fa# Sol# - La# - Si - Do). Cette échelle est utilisée par Olivier MESSIAEN dans les première et deuxième pièces de sa Nativité du Seigneur (Leduc - Paris, 1936).
5.10. Septième échelle à transpositions limitées
C'est une échelle décatonique, c'est à dire à dix sons.
Les combinaisons (1t. + 2t. + 3t. + 4t. + 5t.), (2t. + 3t. + 4t. + 5t. + 6t.), (3t. + 4t. + 5t. + 6t. + 1t.), (4t. + 5t. + 6t. + 1t. + 2t.), (5t. + 6t. + 1t. + 2t. + 3t.) et (6t. + 1t. + 2t. + 3t. + 4t.) de l'intervalle de quinte diminuée donnent respectivement les 2ème, 3ème, 4ème, 5ème, 6ème et 1ère transpositions de la septième échelle à transpositions limitées.
L'ordre des intervalles sera
(1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2) = 6 tons,
ou bien
(1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1) = 6 tons,
ou bien
(1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2) = 6 tons,
ou bien
(1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2) = 6 tons,
ou enfin
(1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2) = 6 tons.
Cette échelle n'est transposable que six fois. Les notes qui en sont absentes sont celles d'un intervalle de quinte diminuée. La 1ère transposition de la 7ème E.T.L. est (Do - Ré b - Ré - Mi b - Fa - Fa# - Sol - La b - La - Si -Do).
Cette échelle (7ème E.T.L.) est utilisée dans la 4ème pièce de l'Ascension d'Olivier MESSIAEN pour orgue (Leduc - Paris, 1933) ou pour orchestre (Leduc - Paris, 1934).
5.11. Remarque sur les échelles transposables six fois seulement.
D'un point de vue purement arithmétique, on pourrait considérer que toutes les échelles qui ne sont que six fois transposables - à savoir 5ème ETL, 2ème ETL tronquée n°1, 2ème ETL tronquée n°2, 4ème et 6ème ETL sont des 7ème ETL tronquées, de sorte qu'on ne dénombrerait que quatre échelles à transpositions limitées. Remarquons à ce propos qu'Olivier MESSIAEN dénommait les modes à transpositions limitées six fois transposables "quatrièmes modes". Le lecteur se reportera à cet égard à la "note de 1'Auteur" qui sert d'avant-propos à la Nativité du Seigneur (25).
Pourtant, d'un point de vue mélodique et harmonique, il nous semble qu'on doit bien considérer qu'il existe sept échelles à transpositions limitées.
On obtient l'unisson séparé de l'octave par six tons et douze fois transposable. Le raisonnement qui précède peut être répété avec des combinaisons de deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix ou onze sons afin d obtenir la totalité des intervalles, accords et échelles contenus dans l'échelle chromatique de douze demi-tons. En poursuivant ce raisonnement jusqu'à ses limites extrêmes, on finit par obtenir l'échelle chromatique à douze sons, en rejoignant le point de départ, bouclant ainsi le cycle (chapitre 1).
On ne traitera pas des conséquences dudit processus dans le cadre du présent exposé, puisqu'aussi bien celui-ci n'est consacré qu'à l'obtention des seules transpositions limitées.
7.1. Notes relatives à l'accord de quinte augmentée et aux troisièmes E.T.L.
Seuls l'accord de quinte augmentée et la 3ème échelle à transpositions limitées tronquée ne contiennent pas d'intervalle de quinte diminuée.
La troisième échelle à transpositions limitées complète est la seule échelle à transpositions limitées (excepté la troisième échelle à transpositions limitées tronquée) qui ne peut-être entièrement composée d'intervalles de quinte diminuée, car c'est la seule échelle à transpositions limitées de MESSIAEN qui n'est pas divisible par deux, mais par trois au maximum.
La troisième échelle à transpositions limitées tronquée est la seule échelle à transpositions limitées qui ne contient aucun accord de septième mineure de quinte diminuée et tierce majeure.
7.2. Notes relatives à l'accord de 7ème mineure, de 5-te diminuée et de 3-ce majeure.
On a déjà constaté au paragraphe 5.3 que c'est le seul accord à transpositions limitées dont aucune combinaison de transpositions ne donne sans redoublement de notes l'échelle chromatique.
On vient également de constater (Voir le Tab. 2 ci-dessous) une autre propriété bien plus remarquable : c'est le seul accord à transpositions limitées commun à toutes les échelles à transpositions limitées complètes ou tronquées, à l'exception toutefois de la troisième échelle à transpositions limitées tronquée.
Nombre d'intervalles et accords à tranpositions limitées possibles sans redoublement de notes dans le système des transpositions limitées TABLEAU 2
|
|
Intervalles ou |
accords à |
transpositions |
limitées |
|
|
échelles ou accords |
In.5è d |
Ac.5è A |
Ac.7è d |
Ac.7M 5d 3A |
Ac.7m 5d 3M |
|
1ère E.T.L. |
3 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
Ac 7è d |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
2ème E.T.L. |
4 |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
AC. 5è A |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3ème E.T.L. tronquée |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
3ème E.T.L. |
3 |
3 |
0 |
0 |
1 |
|
Ac.7M 5d 3A |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Ac. 7m 5d 3M |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
5è E.T.L. |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
2è E.T.L. tronquée n°1 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
2è E.T.L. tronquée n°2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
4è E.T.L. |
4 |
0 |
1 |
2 |
2 |
|
6è E.T.L. |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
7è E.T.L. |
5 |
2 |
2 |
2 |
2 |
Cet accord peut être regardé comme un accord de septième de dominante avec altération descendante de la quinte. Toutefois dans le système tempéré (Do - Mi - Sol b - Si b) se résout en harmonie classique en Si, et non en Fa, et devrait donc être réécrit (Do - Mi - Fa# - La#), qui se trouve être le deuxième renversement de l'accord de septième de dominante avec quinte diminuée.
De même (Fa# - La# - Do - Mi) se résout en Fa, et non en Si, et devrait être réécrit (Sol b - Si b - Do - Mi). En revanche, le redoublement de la fondamentale à l'octave de ces accords entraîne une résolution différente : (Do - Mi - Sol b - Si b - Do) se résout bien en Fa, tandis que (Fa# - La# - Do - Mi - Fa#) se résout bien en Si.
On a déjà signalé au paragraphe 5.3 que l'accord de septième mineure, quinte diminuée et tierce majeure peut s'écrire également dans le système des accords en quartes :
ex. (Do - Mi - Fa # - Si b) réaménagement de (Do - Fa# - Si b - Mi)
ou
(Do - Fa b - Sol b - Si b) renversement de (Sol b - Do - Fa b - Si b)
7.3. Composition des différentes E.T.L. soit avec un groupe d'Ac.T.L., soit avec un groupe d'Ac.T.L. et d'In.T.L.
On ne se préoccupera pas ici de l'harmonisation des échelles à transpositions limitées déjà étudiée par Olivier MESSIAEN (26). On constatera seulement que les E.T.L. peuvent être composées entièrement sans redoublement de notes, soit avec un groupe d'accords, soit avec un groupe d'accord(s) et d'intervalle(s) qui peuvent être à transpositions limitées (2, 3, 4, ou 6 t.), ou non (12 t.). Voir les tableaux 1 et 2. On donnera ici deux exemples dans la première transposition de la deuxième échelle à transpositions limitées.
Le tableau numéro trois donne les possibilités de composer entièrement chaque échelle à transpositions limitées sans redoublement de notes, soit avec un groupe d'accords à transpositions limitées, soit avec un groupe d'accords à transpositions limitées et d'intervalles à transpositions limitées.
TABLEAU 3 : Qualité et quantité d'Ac.T.L. et d'Int.T.L. composant entièrement l'E.T.L.
|
Echelles |
In.5è d |
Ac.5è A |
Ac.7è d |
Ac.7M 5d 3A |
Ac.7m 5d 3M |
|
1ère E.T.L. |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2ème E.T.L. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3ème E.T.L. tronquée |
|
2 |
|
|
|
|
3ème E.T.L. |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
5è E.T.L. |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2è E.T.L. tronquée n°1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2è E.T.L. tronquée n°2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
4è E.T.L. |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6è E.T.L. |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
7è E.T.L. |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
Toutes les transpositions limitées du système chromatique à douze demi-tons s'obtiennent donc premièrement par division en parts égales de l'octave de l'échelle chromatique (6, 4, 3 et 2) et deuxièmement par combinaisons des transpositions de chacune de ces divisions.
Elles sont au nombre de quinze :
- une de deux notes
- une de trois notes
- trois de quatre notes
- cinq de six notes
- trois de huit notes
- une de neuf notes
- une de dix notes.
On peut étendre ce procédé en l'adaptant à d'autres divisions du ton et donc de l'octave. En voici les principaux exemples :
dans le système à 3/4 de tons, l'on divise l'octave par 8 au minimum puis par 4 et enfin par 2 au maximum ;
dans ceux à 3/8 de ton par 16 au minimum, 8, 4 et 2 au maximum ;
dans ceux à 1/4 de ton par 24 au minimum, 12, 8, 6, 4, 3 et 2 au maximum ;
dans ceux à 3/16 de ton par 32 au minimum, 16, 8, 4 et 2 au maximum ;
dans ceux à 1/8 de ton par 48 au minimum, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3 et 2 au maximum ;
dans ceux à 3/32 de ton par 64 au minimum, 32, 16, 8, 4 et 2 au maximum.
En combinant dans un système donné les transpositions de ces divisions en parts égales de l'octave, l'on obtient toutes les transpositions limitées de ce système et ce à l'instar du système à 12 demi-tons ci-dessus traité.
Cette étude étant hors du sujet de ce mémoire, on laissera à d'autres le bon soin d'en effectuer la rédaction.
L'auteur de ces lignes tient à remercier tous ceux qui l'ont aidé à conduire à son terme cette étude sur un moyen simple permettant d'engendrer les transpositions limitées. Que trouvent donc ici l'expression de ma profonde gratitude Messieurs Guy de la Moriniere, Pierre Pincemaille, Roger Recq, Didier Rodde, François Sabatier, Pierre-Yves Salomon, Fausto Sinagaglia et Raphaël Tambyeff.
L'auteur du présent mémoire tient de même à porter tout particulièrement à la connaissance du lecteur une oeuvre musicale pour orgue remarquable contenant tous les modes à transpositions limitées utilisés par Olivier MESSIAEN, cette recommandation se voulant le plus puissant hommage rendu au Grand Maître de la tribune de l'orgue de l'Église de la Trinité à Paris. On aura reconnu le "Tombeau d'Olivier Messiaen" (27) créé par son successeur Monsieur Naji HAKIM à qui je dédie ce travail, ainsi qu'à Madame Marie-Bernadette DUFOURCET-HAKIM.
Dominique Rivolta
